La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital. Es decir que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que convenirse en valores binarios antes de que se introduzcan en sistema digital. Entonces habrá situaciones en que los valores binarios de las salidas de un circuito digital tengan que convertir a valores decimales para presentarse al mundo exterior. Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los sistemas octal (base 8) y hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin, que es ofrecer un eficaz medio de representación de números binarios grandes. Como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convenirse fácilmente al y del binario. ‘’‘ Tabla Comparativa’‘’
binario
decimal
hexa
binario
decimal
hexa
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
2. Sistema de numeración binario
Conversión de binario a decimal.- El sistema de numeración binario u un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier número binario puede convenirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1. Por ejemplo: 1 1 1 0 1 12 de binario a decimal 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910
45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20
entonces es igual a 1 0 1 1 0 12 Pasar a decimal el binario 101011102
1 0 1 0 1 1 1 0
El segundo método consiste dividir repetidas veces el número entre dos hasta que su cociente sea menor que él. Por ejemplo:
con residuo 0
con residuo 1
con residuo 0
con residuo 0
con residuo 0
con residuo 0
con residuo 0
con residuo 1
Entonces el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. El número quedaría como sigue:
1 0 0 0 0 0 1 02
3. Operaciones Binarias
En lo que sigue se adopta como convención la lógica positiva, lo que implica: verdadero = 1 = activo, ------, falso = 0 = inactivo Hay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta, multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud del o de los operando(s). La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando (es unaria), y las otras cuatro sobre dos operandos.
La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son ambos 1 La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos es 1 La operación XOR tiene resultado 1 si los operandos son distintos (uno en 0 y el otro en 1) La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y viceversa La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números decimales
AND
0 * 0 = 0
0 + 0 = 0
0 X 0 = 0
NOT 1 = 0
0 + 0 = 0
0 * 1 = 0
0 + 1 = 1
0 X 1 = 1
NOT 0 = 1
0 + 1 = 1
1 * 0 = 0
1 + 0 = 1
1 X 0 = 1
---
1 + 0 = 1
1 * 1 = 1
1 + 1 = 1
1 X 1 = 0
---
1 + 1 = 10
División
Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0, 1/1=1
Ejemplos De Suma
1
1
1
1
1
Acarreo
1
1
0
0
1
25
+
1
0
1
0
1
1
+ 43
1
0
0
0
1
0
0
68
1
1
Acarreo
1
1
0.
1
0
6,50
+
1
1
0
1.
0
1
+ 13.25
1
0
0
1
1.
1
1
19.75
1
1
0
0
1
25
*
1
0
0
1
1
* 19
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
475
Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos “1″ para la operación del dígito siguiente). Este llevarse “1″ es vastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como “acarreo” (que suena muy mal, asi que le seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman “booleanas” ya que se basan en el álgebra de Boole (invito al lector a rememorar cuando en la escuela secundaria se preguntaba, igual que yo, si el álgebra de Boole le serviría alguna vez para algo). En un ordenador el sistema de numeración es binario -en base 2, utilizando el 0 y el 1- hecho propiciado por ser precisamente dos los estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora. Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10:
Podemos observar que la suma se desa- 1010 1010b rrolla de la forma tradicional; es decir: + 0011 1100b sumamos normalmente, salvo en el caso de
1 + 1 = 102 , en cuyo caso tenemos un aca-
1110 0110b rreo de 1 (lo que nos llevamos).
Complemento a dos. En general, se define como valor negativo de un número el que necesitamos sumarlo para obtener 00h, por ejemplo: FFh Como en un byte solo tenemos dos nibbles, es + 01h decir, dos dígitos hexadecimales, el resultado es
0 (observar cómo el 1 más significativo subrayado
100h es ignorado). Luego FFh=−1. Normalmente, el bit 7 se considera como de signo y, si está activo (a 1) el número es negativo. Por esta razón, el número 80h, cuyo complemento a dos es él mismo, se considera negativo (−128) y el número 00h, positivo. En general, para hallar el complemento a dos de un número cualquiera basta con calcular primero su complemento a uno, que consiste en cambiar los unos por ceros y los ceros por unos en su notación binaria; a continuación se le suma una unidad para calcular el complemento a dos. Con una calculadora, la operación es más sencilla: el complemento a dos de un número A de n bits es 2n-A. Otro factor a considerar es cuando se pasa de operar con un número de cierto tamaño (ej., 8 bits) a otro mayor (pongamos de 16 bits). Si el número es positivo, la parte que se añade por la izquierda son bits a 0. Sin embargo, si era negativo (bit más significativo activo) la parte que se añade por la izquierda son bits a 1. Este fenómeno, en cuya demostración matemática no entraremos, se puede resumir en que el bit más significativo se copia en todos los añadidos: es lo que se denomina la extensión del signo: los dos siguientes números son realmente el mismo número (el −310): 11012 (4 bits) y 111111012 (8 bits).
Sistema de numeración octal El sistema de numeración octal es muy importante en el trabajo que se realiza en una computadora digital. Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene ocho posibles dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Así, cada dígito de un número octal puede tener cualquier valor del 0 al 7. Conversi6n de octal a decimal.- Por tanto, un número octal puede convenirse fácilmente a su equivalente decimal multiplicando cada dígito octal por su valor posicional. Por ejemplo:
2748 = 2 x 82 + 7 x 81 + 4 x 80
2848 = 2 x 64 + 7 x 8 + 4 x 1
2848 = 18810
Conversión de decimal a octal.- Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método dc división repetida que se usó en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de división dc 8 en lugar de 2. Por ejemplo:
con residuo 4
con residuo 4
con residuo 2
Al final resulta que:
16410 = 2448
Conversión de octal a binario.- La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales. La conversión de octal a binario se lleva a cabo conviniendo cada dígito octal en su equivalente binario dc 3 bits. Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario, convirtiéndolo dc manera individual. Por ejemplo, podemos convertir 516, a binario de la siguiente manera:
5 1 6
001 110 entonces:
5168 = 1010011102
Conversi6n de binario a octal.- La conversión de enteros binarios a octales es simplemente la operación inversa del proceso anterior. Los bits del número binario se agrupan en conjuntos de tres comenzando por el LSB. Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal. Por ejemplo: 111 001 101 110 7 1 5 6 entonces: 1110011011102 = 71568
Sistema De Numeración Hexadecimal Conversión de hexadecimal a decimal.- Un número hexadecimal se puede convenir a su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hexadecimales tiene un valor que es una potencia de 16. El LSD tiene un valor de l60 = 1; el siguiente dígito en secuencia tiene un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor de 162 = 256 y así sucesivamente. Por ejemplo:
81216 = 8 x 162 + 1 x 161 + 2 x 160
81216 = 2048 + 16 + 2
81216 = 206610
Conversión de decimal a hexadecimal.- Recuerde que efectuamos la conversión de decimal a binario por medio de la división repetida entre 2 y de decimal a octal por medio de la división repetida entre 8. De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida entre 16. Por ejemplo:
con residuo 7
con residuo 010
con residuo 1
entonces:
42310 = 1A716
Conversión de hexadecimal a binario.- Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como método ‘taquigráfico” en la representación de números binarios. Es una tarea relativamente simple la de convertir un número hexadecimal en binario. Cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits. Por ejemplo:
6 D 2 3
1101 0010 0011 entonces:
6D2316 = 1101101001000112
Conversión de binario a hexadecimal.- Esta conversión es exactamente la operación inversa del proceso anterior. El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente. Cuando es necesario se añaden ceros para completar un grupo de cuatro bits.
11101001102 = 0011 1010 0110
3 A 6
11101001102 = 3A616
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
SISTEMA BINARIO
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los primeros 20 números en el sistema en base 2 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011 y 10100. Cualquier número se puede representar en el sistema binario, como suma de varias potencias de dos. Por ejemplo, el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 20) + (0 × 21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173.
Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema decimal:
100101 1011010 +110101 - 110101 1011010 100101
Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o bits), el sistema binario se utiliza en los ordenadores o computadoras. Un número binario cualquiera se puede representar, por ejemplo, con las distintas posiciones de una serie de interruptores. La posición “encendido” corresponde al 1, y “apagado” al 0. Además de interruptores, también se pueden utilizar puntos imantados en una cinta magnética o disco: un punto imantado representa al dígito 1, y la ausencia de un punto imantado es el dígito 0. Los biestables ( dispositivos electrónicos con sólo dos posibles valores de voltaje a la salida y que pueden saltar de un estado al otro mediante una señal externa ) también se pueden utilizar para representar números binarios. Los circuitos lógicos realizan operaciones con números en base 2. La conversión de números decimales a binarios para hacer cálculos, y de números binarios a decimales para su presentación, se realizan electrónicamente
SISTEMA DECIMAL O BASE 10
Cuando en una enumeración se usan 10 símbolos diversos, a esta se le denomina numeración decimal o basa diez. El valor de cada cifra es el producto de la misma por una potencia de diez (la base), cuyo exponente es igual a la posición ocupada por la cifra; se supone que las unidades ocupan la posición 0, la decenas la posición 1 y así sucesivamente.
Por ejemplo, 327 se puede descomponer en: 3 . 102 + 2 . 101 + 7 . 100 = 300 + 20 + 7 = 327
Siguiendo con el mismo razonamiento podemos definir una numeración binaria o en base 2, donde los símbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numérico 0 y 1. Así, el número 10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal:
1 . 24 + 0 .23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 = 16 + 0 + 2 + 2 + 0 = (22)10
NUMERACIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL
El sistema de numeración hexadecimal utiliza 16 símbolos o signos y el sistema de numeración octal utiliza solo 8 símbolos. Para comprenderse funcionamiento, retomaremos el numero anteriormente analizado en base 10, (327) y lo estudiaremos en base octal y hexadecimal.
BASE 8 U OCTAL
Si tenemos el número (327)8 su correspondiente valor en base 10 será: (327) = 3 . 82 + 2 . 81 + 7 . 80 = 192 + 16 + 7 = (215)10
Los signos que se utilizan en base 8 son:
0 1 2 3 4 5 6 7
Una cifra octal equivale a 3 cifras binarias, por lo que el numero escrito en binario se puede convertir en octal dividiéndolo en grupos de 3 bits, y traduciendo cada uno de ellos en la cifra octal correspondiente. Por ejemplo, el número binario 10110, equivale a 26 en octal:
10 110 numero binario descompuesto en grupos de 3 bits. 2 6 equivalente en octal de cada grupo.
BASE 16 O HEXADECIMAL
Si analizamos el número (327)10 , y obtenemos su correspondiente valor en base 10, será:
(327)16 = 3 . 162 + 2 . 161 + 7 . 160 = = 768 + 32 + 7 = (807)10
Por lo que (327)16 = (807)10 Los signo utilizados en base 16 son los que se indican a continuación:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
El valor de las letras es el siguiente: A= 10; B= 11; C= 12 ; D= 13; E= 14; F= 15
Una cifra hexadecimal contiene la misma información que 4 bits, por lo que el numero escrito en binario se puede convertir en hexadecimal dividiendolo en grupos de cuatro bits, y traduciendo cada uno de ellos en la cifra hexadecimal correspondiente. Por ejemplo, el numero 10110equivale a 16 en hexadecimal; la descomposición seria:
1 0110 numero binario descompuesto en grupos de cuatro bits 1 6 equivalente hexadecimal en cada grupo.
1. YO APRENDI:
como la computadora utiliza la numeracion.
2. SE ME DIFICULTO:
nada
3. ME GUSTARIA SABER MAS ACERCA DE:
4. COMENTARIOS, DUDAS, SUGERENCIAS.
